1) 무차원수 Biot number와 Nusselt number의 정의와 차이점
Biot number ()
- 정의: Biot number는 고체 내부의 전도 열전달 저항과 고체 표면과 주변 유체 사이의 대류 열전달 저항의 비를 나타내는 무차원수입니다.
- 수식:
- 여기서,
- : 대류 열전달 계수 (W/m²·K)
- : 특성 길이 (m). 물체의 부피를 표면적으로 나눈 값 () 또는 특정 방향의 길이 등이 사용될 수 있습니다.
- : 고체의 열전도율 (W/m·K)
- 물리적 의미:
- (보통 0.1 이하): 고체 내부의 온도 분포가 비교적 균일하며, 온도 변화가 주로 대류 저항에 의해 결정됩니다. 이 경우 물체를 하나의 덩어리로 간주하여 해석하는 집중 용량계(lumped capacitance) 방법을 적용할 수 있습니다.
- : 고체 내부의 온도 구배가 크며, 내부 전도 저항이 대류 저항보다 훨씬 중요합니다. 물체 내부 위치에 따른 온도 변화를 고려해야 합니다.
- 용도: 주로 과도 열전달 문제에서 물체 내부의 온도 분포 균일성을 판단하고, 집중 용량계 해석의 적용 가능성을 평가하는 데 사용됩니다.
Nusselt number ()
- 정의: Nusselt number는 유체와 고체 표면 사이의 대류 열전달과 유체의 열전도에 의한 열전달의 비를 나타내는 무차원수입니다. 이는 대류가 열전달을 얼마나 효과적으로 촉진하는지를 나타냅니다.
- 수식:
- 여기서,
- : 대류 열전달 계수 (W/m²·K)
- : 특성 길이 (m). 유동 방향의 길이 또는 수력학적 직경 등이 사용될 수 있습니다.
- : 유체의 열전도율 (W/m·K)
- 물리적 의미:
- : 순수한 열전도에 의한 열전달만 일어나는 경우를 의미합니다 (대류가 없는 경우).
- : 대류에 의해 열전달이 촉진되고 있음을 의미하며, 값이 클수록 대류 효과가 강합니다.
- 용도: 대류 열전달 계수 를 구하거나, 다양한 유동 조건 및 형상에 대한 대류 열전달 특성을 비교하고 상관관계를 도출하는 데 사용됩니다.
차이점 요약
| 구분 | Biot number () | Nusselt number () |
| 정의 | 고체 내부 전도 저항 vs. 표면 대류 저항 | 표면 대류 열전달 vs. 유체 내부 전도 열전달 |
| 분모의 열전도율 | 고체의 열전도율 () | 유체의 열전도율 () |
| 물리적 의미 | 고체 내부 온도 균일성 (내부 vs. 외부 저항) | 대류에 의한 열전달 촉진 효과 (대류 vs. 전도) |
| 주요 용도 | 과도 열전달 해석, 집중 용량계 적용 판단 | 대류 열전달 계수 계산, 대류 특성 비교 |
두 무차원수 모두 대류 열전달 계수 와 특성 길이 를 포함하지만, 분모에 사용되는 열전도율이 고체의 열전도율인지 유체의 열전도율인지에 따라 완전히 다른 물리적 의미를 갖게 됩니다. Biot number는 물체 내부의 온도 분포 특성을, Nusselt number는 물체 표면에서의 유체와 고체 간 열전달 특성을 나타냅니다.
2) 등온평판의 온도 상승에 따른 Prandtl number 변화
Prandtl number ()는 다음과 같이 정의됩니다.
여기서,
- : 동점성계수 (m²/s)
- : 열확산율 (m²/s)
열확산율 는 다음과 같습니다.
여기서,
- : 유체의 열전도율 (W/m·K)
- : 유체의 밀도 (kg/m³)
- : 유체의 정압 비열 (J/kg·K)
따라서 Prandtl number는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
문제에서 등온평판의 온도가 40℃에서 90℃로 상승할 때, 일정유속의 층류 공기 유동장에 놓여 있는 상황입니다. 이 온도 변화가 유체인 공기의 물성치에 미치는 영향을 고려해야 합니다. 또한, 문제에서 동점성계수 ()는 일정하다고 가정하고 있습니다.
공기의 물성치가 온도에 따라 어떻게 변하는지 살펴보겠습니다 (대기압 기준):
- 밀도 (): 이상 기체 법칙에 따라 온도가 상승하면 밀도는 감소합니다 ().
- 정압 비열 (): 온도가 상승함에 따라 약간 증가합니다.
- 열전도율 (): 온도가 상승함에 따라 비교적 크게 증가합니다.
- 동점성계수 (): 일반적으로 온도가 상승함에 따라 증가합니다. 그러나 문제에서 일정하다고 가정했으므로 이 가정에 따릅니다.
이제 식에서 각 항의 변화를 고려해 봅시다.
- : 일정 (가정)
- : 온도 상승에 따라 감소
- : 온도 상승에 따라 약간 증가
- : 온도 상승에 따라 비교적 크게 증가
분자 항 ()은 가 일정한 가운데 가 감소하고 가 약간 증가하므로, 순 효과는 밀도 감소의 영향이 더 커서 대체로 감소하는 경향을 보입니다.
분모 항 ()은 온도 상승에 따라 비교적 크게 증가합니다.
따라서, 분자는 감소하거나 거의 변화가 없는 반면 분모는 크게 증가하므로, Prandtl number ()는 감소하게 됩니다.
결론적으로, 등온평판의 온도가 40℃에서 90℃로 상승할 때 (일정유속의 층류 공기 유동장, 동점성계수 일정 가정 하에) Prandtl number는 감소합니다.
물리적으로 보면, 에서 가 일정한 동안 온도가 높아지면 열전도율 가 증가하여 열확산율 이 증가하게 됩니다. 즉, 열이 확산되는 속도가 빨라지므로, 운동량 확산 속도(동점성계수, )에 비해 열 확산 속도()가 상대적으로 빨라져 Prandtl number는 감소합니다. 이는 운동량 경계층의 두께에 대한 열 경계층의 두께 비가 감소함을 의미하기도 합니다.
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