2-6. 체적 V= 80 m3 인 공간에 사람 np = 5 p(명)이 있다. 사람 1인당 CO2 발생량 Vp = 0.012 m3/(h p), 침기량 환기횟수 ACH(Air change per hour) = 0.5 회/h,실내 공간의 초기 CO2 농도 Ci = 800 ppm, 외기의 CO2 농도 C0 = 500 ppm 이라고 가정한다. 완전혼합을 가정하여 시간 t= 1 h 후의 실내 CO2 농도 C(ppm)를 계산하시오.

 

※ 1시간 후의 농도를 계산하고 초기 농도와 평균값으로 계산 시 문제점

간단한 평균값으로 1시간 후의 CO2 농도를 근사하는 것은 이 문제의 경우 정확하지 않습니다. 실내 CO2 농도의 변화는 시간에 따라 지수 함수적으로 나타나기 때문입니다.

실내 CO2 농도는 외기의 농도, 사람으로부터의 발생량, 환기량에 의해 결정되며, 시간이 지남에 따라 초기 농도에서 평형 상태의 농도(정상 상태 농도)로 점근적으로 접근합니다. 이러한 변화는 선형적이지 않고, 현재 농도와 정상 상태 농도 간의 차이에 비례하여 변화율이 달라지는 특성을 가집니다.

따라서 단순히 초기 농도와 어떤 평균값을 이용하여 1시간 후의 농도를 계산하는 것은 오차가 발생합니다. 이 문제는 미분 방정식으로 표현되고, 그 해가 지수 함수 형태이므로, 앞에서 사용한 공식이 가장 정확한 계산 방법입니다.

공식을 다시 살펴보면, 초기 농도(Ci​)와 정상 상태 농도(C_ss​=C_o​+G×10^6÷Q​) 사이의 차이가 시간에 따라 지수적으로 감소하여 정상 상태 농도에 수렴하는 형태임을 알 수 있습니다.

여기서 (Ci​−Css​)는 초기 농도와 정상 상태 농도의 차이이며, 이 차이가 e^(−Q​t/ V)에 따라 감소하여 0이 되면 C(t)=Css​가 됩니다. 1시간 시점(t=1)에서는 이 차이의 일부가 아직 남아있기 때문에 초기 농도와 정상 상태 농도의 단순 평균값과는 다른 값이 됩니다.

따라서 정확한 계산을 위해서는 초기 농도와 평균값 대신, 환기율과 체적을 고려한 지수 함수 공식을 사용하는 것이 필요합니다.